A figura abaixo foi construída no GeoGebra usando o comando sequência aninhado com o comando transladar. Com ela é possível construir uma sequência de irracionais cujo primeiro termo é a raiz quadrada de dois.
Contextualizando a construção da figura: trata-se de uma possível representação para um trecho matemático retirado de um diálogo de Platão, o Teeteto. No texto, o jovem matemático Teeteto, discípulo do matemático Teodoro de Cirene (que teria vivido em torno de 465-398 a.C., e que também está presente no diálogo) é interrogado por Sócrates. Sabe-se que após a morte deste, ocorrida na primavera de 399 a.C., Platão saiu de Atenas em viagem, e entre os lugares que esteve e personagens que encontrou estão Teodoro, que fez contribuições na pesquisa dos irracionais, e também uma comunidade de Pitagóricos no sul da Itália. Na passagem em questão, Teeteto diz: "Aqui o Teodoro desenhou-nos algo acerca de potências [i. e., raízes], de três pés e de cinco pés quadrados, demonstrando que o comprimento não é comensurável com um pé, e assim continuou por cada uma delas, até a de dezessete pés. Seja como for, ficou por ali. Então passou-nos pela cabeça isto: visto que as potências parecem ser em quantidade infinita, tentar reuni-las sob um único nome pelo qual todas pudessem ser chamadas" (147 d-e). A sequência de triângulos é, portanto, um modo de representar os "irracionais de Teodoro" no modelo euclidiano de construção geométrica, isto é, utilizando apenas régua e compasso.
Existem outros fatores interessantes, que em linhas gerais, nos auxiliam a desfrutar melhor da leitura deste diálogo, como por exemplo:
O prólogo do diálogo é ambientado em Megara, onde Euclides (filósofo e discípulo de Sócrates que Platão também teria encontrado em suas viagens. Não deve ser confundido com o autor dos Elementos) encontra Térpsion, que comenta sobre Teeteto, que retorna de uma batalha em estado próximo da morte. Térpsion se lembra então de uma conversa travada entre Sócrates e Teeteto, quando este ainda era jovem. A conversa teria sido registrada por Euclides aos poucos, e o diálogo entre Sócrates, Teodoro e Teeteto é uma leitura. Temos assim, um diálogo dentro do diálogo.
O interesse de Platão pela matemática se manifesta pela admiração de Sócrates ao ouvir Teeteto dizer como ele e um colega, também chamado Sócrates, dividiram e classificaram todos os números em duas classes: “Dividimos todos os números em duas partes. Qualquer um que tivesse o poder de se produzir pela multiplicação de iguais, comparamos com a forma de um quadrado e chamamos-lhes um número quadrado ou equilateral. [...] Depois tomamos os números intermediários, entre os quais o três e o cinco e todo o número que não tem o poder de se produzir pela multiplicação de iguais, mas multiplicando um número maior por um menor ou um menor por um maior [...] Por sua vez, a esse, comparamo-lo a uma figura oblonga e chamamos-lhes um número oblongo. [...] Qualquer desenho que produza um quadrado formado por um número plano equilateral definimos como «comprimento», enquanto que qualquer um que produza um número oblongo, definimos como «potência», pois não são comensuráveis com o anterior, em comprimento, mas com as figuras planas de que são a potência. E sobre os sólidos também é assim”. (148 a-b).
Sobre isso, notemos primeiramente que a definição 19 do Livro VII dos Elementos de Euclides diz: “Um número quadrado é o igual o mesmo número de vezes ou [o] contido por dois números iguais”. O que nos leva a conjecturar que essa parte relativa à definição de número, de par, de impar, e os seus respectivos produtos foram objeto de estudo antes mesmo de Euclides. Em um comentário aos Elementos, o teorema 9 do Livro X é atribuído a Teeteto, e existe uma suspeita de que a afirmação teria sido feita por Pappus de Alexandria (matemático que viveu aproximadamente entre os anos 290-350 de nossa era). O teorema em questão é o seguinte: “Os quadrados sobre as retas comensuráveis em comprimento têm entre si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado; e os quadrados que têm entre si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado, também terão os lados comensuráveis em comprimento. E os quadrados sobre retas incomensuráveis em comprimento não têm entre si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado; e os quadrados que não têm entre si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado, nem terão os lados comensuráveis em comprimento”.
A operação descrita por Teeteto consiste em um tipo de “geometrização da aritmética”, que consiste em, primeiramente, configurar e dividir os números em quadrados (obtidos pelo produto de números iguais), e retangulares (obtidos pelo produto de desiguais); depois, procede-se com o processo de quadrar os números retangulares por meio de incomensuráveis. Quer dizer, sejam os quadrados 4 = 2 x 2, 9 = 3 x 3, 16 = 4 x 4, e assim por diante, e sejam os retangulares 3 = 1 x 3 ou 3 x 1, 5 = 1 x 5 ou 5 x 1, etc., transforma-se estes últimos em quadrados pela multiplicação de incomensuráveis ou raízes (chamadas no texto de “potências”), 3= √3 x √3, 5= √5 x √5, etc.
Como dissemos acima, o interesse de Sócrates está no fato dos matemáticos conseguirem fazer definições universais de seus objetos. Em diversos diálogos vemos Sócrates questionando os seus interlocutores sobre o que é a coragem, o que é a virtude, o que é o conhecimento, o que é a justiça, etc. Estes tentavam responder com exemplos, não com uma definição global que fosse capaz de reunir todos os muitos exemplos. Após a definição dos números feita por Teeteto, Sócrates lhe diz: “Vocês são os mais hábeis dos homens, meus rapazes.” (148 b). E depois sugere, “vai então, pois indicaste muito bem o caminho agora mesmo, e tenta imitar a tua resposta sobre as potências; do mesmo modo que colocaste todas aquelas que havia numa única forma, procura nomear, assim, todos os saberes numa única definição” (148 d).
Quando desafiado a dar uma definição do que seja o conhecimento (episteme), Teeteto diz que conhecimento é percepção (aisthesis). Uma resposta aparentemente improvável para um matemático, não!? Bom, não no caso deste matemático em específico, que estudava com Teodoro, afinal, se a percepção se refere a coisas transitórias, imperfeitas, instáveis, heterogêneas, contraditórias, então o conhecimento tem qualquer coisa de irracional (alogon).
Grosso modo, os personagens dos diálogos de Platão podem ser compreendidos como representantes de uma classe de equivalência. No Teeteto, este jovem é logo no início (em 142 b) retratado como bom e belo (kalos kai agathos). Este sintagma designa um conjunto de valores relacionado à excelência (arete) que é próprio da era arcaica. Assim, pode-se pensar que uma das grandes questões implícitas no livro, a quem deve ser atribuído o privilégio de educar Teeteto?, tem como fundo a questão da educação da juventude, ou da paideia, ateniense.
Neste confronto estão Sócrates, Protágoras e Teodoro (que é arrastado para a discussão por Sócrates. Inclusive, esforçando-se em não participar da argumentação e sendo recordado por Sócrates de ter sido discípulo de Protágoras, Teodoro diz: “nós, de alguma maneira, mais rapidamente passamos das palavras simples à geometria”, 165 a). Em Sócrates, temos um representante da dialética, em Protágoras, um representante da sofística, e em Teodoro, um representante dos conhecimentos técnicos da matemática. Protágoras é bem conhecido pelo seu aforismo “o homem é a medida de todas as coisas” (homo mensura), “das que são, enquanto são, das que não são, enquanto não são” (152 a). Um herdeiro da tradição de Heráclito, também conhecido por uma máxima que diz que “não se pode entrar duas vezes no mesmo rio”, pois as águas que nos banharam já se foram, e mesmo nós, sofrendo continuamente a ação silenciosa e inexorável do tempo, também já não somos mais (fluxo universal). Protágoras é, desse modo, um representante do relativismo, inclusive no âmbito da matemática, pois teria afirmado que nenhuma reta poderia tangenciar um círculo em um único ponto, e que para isso bastava um exame criterioso do desenho em questão. Ou seja, Protágoras negava as características universais da matemática a partir das imperfeições de suas representações (nenhuma linha é sem espessura, nenhuma circunferência tem todos os seus pontos perfeitamente equidistantes do centro, etc).
Ocorre que pela data dramática do diálogo narrado, Protágoras estaria já morto, logo ele é representado por Sócrates. Vejamos, Sócrates veste a máscara de Protágoras para expor a sua doutrina, que depois é combatida pelo próprio Sócrates. Mas isso de modo algum é feito de maneira displicente. A passagem em que Sócrates representa Protágoras é um dos trechos de maior rigor argumentativo do diálogo. Pensemos um pouco em Platão como o mestre dos fantoches, o escritor, e seu intuito: se ele apresentasse a doutrina de Protágoras de maneira débil, bastaria contra-argumentos não muito fortes para refutá-la. Para enaltecer o valor da dialética, Sócrates apresenta os ensinamentos de Protágoras com a maior propriedade, esforçando-se em se expressar do melhor modo, como o próprio Protágoras teria feito. A força da refutação se verifica que por maior que seja a precisão argumentativa e expositiva, o homo mensura de Protágoras se mostra contraditório em si mesmo quando colocado sob exame rigoroso. Vejamos a conclusão de Sócrates: “E, se o que muitos dizem é que cada um, sozinho, terá as suas próprias opiniões, todas correctas e verdadeiras, então, meu caro amigo, como é que Protágoras é sábio, a ponto de também ser considerado mestre de outros, justamente, com um grande salário, enquanto nós somos muito ignorantes e devemos ser seus alunos, se cada um é a medida da sua própria sabedoria?” (161 d-e).
Existem muitos outros aspectos que ampliam o escopo de compreensão deste diálogo, no entanto, pontuamos aqui algumas características que estão relacionadas ao papel da matemática na educação e na sua relação com o conhecimento.
Inté.
Referências:
EUCLIDES. Os Elementos. Tradução e introdução de Irineu Bicudo. São Paulo: Ed. UNESP, 2009.
PLATONE. Teeteto. Introduzione, traduzione e commento di Franco Ferrari. Milano: BRU Rizzoli, 2011.
PLATÃO. Teeteto. Tradução de Adriana Manuela Nogueira e Marcelo Boeri. Prefácio de José Trindade Santos. 3 ed. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 2010.
Contextualizando a construção da figura: trata-se de uma possível representação para um trecho matemático retirado de um diálogo de Platão, o Teeteto. No texto, o jovem matemático Teeteto, discípulo do matemático Teodoro de Cirene (que teria vivido em torno de 465-398 a.C., e que também está presente no diálogo) é interrogado por Sócrates. Sabe-se que após a morte deste, ocorrida na primavera de 399 a.C., Platão saiu de Atenas em viagem, e entre os lugares que esteve e personagens que encontrou estão Teodoro, que fez contribuições na pesquisa dos irracionais, e também uma comunidade de Pitagóricos no sul da Itália. Na passagem em questão, Teeteto diz: "Aqui o Teodoro desenhou-nos algo acerca de potências [i. e., raízes], de três pés e de cinco pés quadrados, demonstrando que o comprimento não é comensurável com um pé, e assim continuou por cada uma delas, até a de dezessete pés. Seja como for, ficou por ali. Então passou-nos pela cabeça isto: visto que as potências parecem ser em quantidade infinita, tentar reuni-las sob um único nome pelo qual todas pudessem ser chamadas" (147 d-e). A sequência de triângulos é, portanto, um modo de representar os "irracionais de Teodoro" no modelo euclidiano de construção geométrica, isto é, utilizando apenas régua e compasso.
ResponderExcluirExistem outros fatores interessantes, que em linhas gerais, nos auxiliam a desfrutar melhor da leitura deste diálogo, como por exemplo:
ExcluirO prólogo do diálogo é ambientado em Megara, onde Euclides (filósofo e discípulo de Sócrates que Platão também teria encontrado em suas viagens. Não deve ser confundido com o autor dos Elementos) encontra Térpsion, que comenta sobre Teeteto, que retorna de uma batalha em estado próximo da morte. Térpsion se lembra então de uma conversa travada entre Sócrates e Teeteto, quando este ainda era jovem. A conversa teria sido registrada por Euclides aos poucos, e o diálogo entre Sócrates, Teodoro e Teeteto é uma leitura. Temos assim, um diálogo dentro do diálogo.
O interesse de Platão pela matemática se manifesta pela admiração de Sócrates ao ouvir Teeteto dizer como ele e um colega, também chamado Sócrates, dividiram e classificaram todos os números em duas classes: “Dividimos todos os números em duas partes. Qualquer um que tivesse o poder de se produzir pela multiplicação de iguais, comparamos com a forma de um quadrado e chamamos-lhes um número quadrado ou equilateral. [...] Depois tomamos os números intermediários, entre os quais o três e o cinco e todo o número que não tem o poder de se produzir pela multiplicação de iguais, mas multiplicando um número maior por um menor ou um menor por um maior [...] Por sua vez, a esse, comparamo-lo a uma figura oblonga e chamamos-lhes um número oblongo. [...] Qualquer desenho que produza um quadrado formado por um número plano equilateral definimos como «comprimento», enquanto que qualquer um que produza um número oblongo, definimos como «potência», pois não são comensuráveis com o anterior, em comprimento, mas com as figuras planas de que são a potência. E sobre os sólidos também é assim”. (148 a-b).
ExcluirSobre isso, notemos primeiramente que a definição 19 do Livro VII dos Elementos de Euclides diz: “Um número quadrado é o igual o mesmo número de vezes ou [o] contido por dois números iguais”. O que nos leva a conjecturar que essa parte relativa à definição de número, de par, de impar, e os seus respectivos produtos foram objeto de estudo antes mesmo de Euclides. Em um comentário aos Elementos, o teorema 9 do Livro X é atribuído a Teeteto, e existe uma suspeita de que a afirmação teria sido feita por Pappus de Alexandria (matemático que viveu aproximadamente entre os anos 290-350 de nossa era). O teorema em questão é o seguinte: “Os quadrados sobre as retas comensuráveis em comprimento têm entre si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado; e os quadrados que têm entre si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado, também terão os lados comensuráveis em comprimento. E os quadrados sobre retas incomensuráveis em comprimento não têm entre si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado; e os quadrados que não têm entre si uma razão que um número quadrado, para um número quadrado, nem terão os lados comensuráveis em comprimento”.
ExcluirA operação descrita por Teeteto consiste em um tipo de “geometrização da aritmética”, que consiste em, primeiramente, configurar e dividir os números em quadrados (obtidos pelo produto de números iguais), e retangulares (obtidos pelo produto de desiguais); depois, procede-se com o processo de quadrar os números retangulares por meio de incomensuráveis. Quer dizer, sejam os quadrados 4 = 2 x 2, 9 = 3 x 3, 16 = 4 x 4, e assim por diante, e sejam os retangulares 3 = 1 x 3 ou 3 x 1, 5 = 1 x 5 ou 5 x 1, etc., transforma-se estes últimos em quadrados pela multiplicação de incomensuráveis ou raízes (chamadas no texto de “potências”), 3= √3 x √3, 5= √5 x √5, etc.
ExcluirComo dissemos acima, o interesse de Sócrates está no fato dos matemáticos conseguirem fazer definições universais de seus objetos. Em diversos diálogos vemos Sócrates questionando os seus interlocutores sobre o que é a coragem, o que é a virtude, o que é o conhecimento, o que é a justiça, etc. Estes tentavam responder com exemplos, não com uma definição global que fosse capaz de reunir todos os muitos exemplos. Após a definição dos números feita por Teeteto, Sócrates lhe diz: “Vocês são os mais hábeis dos homens, meus rapazes.” (148 b). E depois sugere, “vai então, pois indicaste muito bem o caminho agora mesmo, e tenta imitar a tua resposta sobre as potências; do mesmo modo que colocaste todas aquelas que havia numa única forma, procura nomear, assim, todos os saberes numa única definição” (148 d).
ExcluirQuando desafiado a dar uma definição do que seja o conhecimento (episteme), Teeteto diz que conhecimento é percepção (aisthesis). Uma resposta aparentemente improvável para um matemático, não!? Bom, não no caso deste matemático em específico, que estudava com Teodoro, afinal, se a percepção se refere a coisas transitórias, imperfeitas, instáveis, heterogêneas, contraditórias, então o conhecimento tem qualquer coisa de irracional (alogon).
ExcluirGrosso modo, os personagens dos diálogos de Platão podem ser compreendidos como representantes de uma classe de equivalência. No Teeteto, este jovem é logo no início (em 142 b) retratado como bom e belo (kalos kai agathos). Este sintagma designa um conjunto de valores relacionado à excelência (arete) que é próprio da era arcaica. Assim, pode-se pensar que uma das grandes questões implícitas no livro, a quem deve ser atribuído o privilégio de educar Teeteto?, tem como fundo a questão da educação da juventude, ou da paideia, ateniense.
Neste confronto estão Sócrates, Protágoras e Teodoro (que é arrastado para a discussão por Sócrates. Inclusive, esforçando-se em não participar da argumentação e sendo recordado por Sócrates de ter sido discípulo de Protágoras, Teodoro diz: “nós, de alguma maneira, mais rapidamente passamos das palavras simples à geometria”, 165 a). Em Sócrates, temos um representante da dialética, em Protágoras, um representante da sofística, e em Teodoro, um representante dos conhecimentos técnicos da matemática. Protágoras é bem conhecido pelo seu aforismo “o homem é a medida de todas as coisas” (homo mensura), “das que são, enquanto são, das que não são, enquanto não são” (152 a). Um herdeiro da tradição de Heráclito, também conhecido por uma máxima que diz que “não se pode entrar duas vezes no mesmo rio”, pois as águas que nos banharam já se foram, e mesmo nós, sofrendo continuamente a ação silenciosa e inexorável do tempo, também já não somos mais (fluxo universal). Protágoras é, desse modo, um representante do relativismo, inclusive no âmbito da matemática, pois teria afirmado que nenhuma reta poderia tangenciar um círculo em um único ponto, e que para isso bastava um exame criterioso do desenho em questão. Ou seja, Protágoras negava as características universais da matemática a partir das imperfeições de suas representações (nenhuma linha é sem espessura, nenhuma circunferência tem todos os seus pontos perfeitamente equidistantes do centro, etc).
ExcluirOcorre que pela data dramática do diálogo narrado, Protágoras estaria já morto, logo ele é representado por Sócrates. Vejamos, Sócrates veste a máscara de Protágoras para expor a sua doutrina, que depois é combatida pelo próprio Sócrates. Mas isso de modo algum é feito de maneira displicente. A passagem em que Sócrates representa Protágoras é um dos trechos de maior rigor argumentativo do diálogo. Pensemos um pouco em Platão como o mestre dos fantoches, o escritor, e seu intuito: se ele apresentasse a doutrina de Protágoras de maneira débil, bastaria contra-argumentos não muito fortes para refutá-la. Para enaltecer o valor da dialética, Sócrates apresenta os ensinamentos de Protágoras com a maior propriedade, esforçando-se em se expressar do melhor modo, como o próprio Protágoras teria feito. A força da refutação se verifica que por maior que seja a precisão argumentativa e expositiva, o homo mensura de Protágoras se mostra contraditório em si mesmo quando colocado sob exame rigoroso. Vejamos a conclusão de Sócrates: “E, se o que muitos dizem é que cada um, sozinho, terá as suas próprias opiniões, todas correctas e verdadeiras, então, meu caro amigo, como é que Protágoras é sábio, a ponto de também ser considerado mestre de outros, justamente, com um grande salário, enquanto nós somos muito ignorantes e devemos ser seus alunos, se cada um é a medida da sua própria sabedoria?” (161 d-e).
ExcluirExistem muitos outros aspectos que ampliam o escopo de compreensão deste diálogo, no entanto, pontuamos aqui algumas características que estão relacionadas ao papel da matemática na educação e na sua relação com o conhecimento.
ExcluirInté.
Referências:
EUCLIDES. Os Elementos. Tradução e introdução de Irineu Bicudo. São Paulo: Ed. UNESP, 2009.
PLATONE. Teeteto. Introduzione, traduzione e commento di Franco Ferrari. Milano: BRU Rizzoli, 2011.
PLATÃO. Teeteto. Tradução de Adriana Manuela Nogueira e Marcelo Boeri. Prefácio de José Trindade Santos. 3 ed. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 2010.
Eita! Valeu Gustavo.
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